P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT
P3 Los operadores · y + son conmutativos.
P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A·(B+C) = (A·B)+(A·C) y A+(B·C) = (A+B)·(A+C).
P5 Para cada valor A existe un valor A’ tal que A·A’ = 0 y A+A’ = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.
P6 · y + son ambos asociativos, esto es, (AB)C = A(BC) y (A+B)+C = A+(B+C).
EJEMPLOS DE TABLA DE VERDAD
Como se mencionó en la sección anterior para formar expresiones compuestas necesitamos conectivos lógicos, empezaremos por un conectivo unitario; esto es, se aplica a una proposición sola.
Como se mencionó en la sección anterior para formar expresiones compuestas necesitamos conectivos lógicos, empezaremos por un conectivo unitario; esto es, se aplica a una proposición sola.
La Negación
La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad
Ejemplo. Encuentre la negación de las expresiones siguientes:
i) Júpiter es un planeta
ii) El pizarrón es verde
iii) El número real x es negativo
iv) Algún elefante es de color rosa
v) Ningún pez respira fuera del agua
vi) Todos los leones son feroces
ii) El pizarrón es verde
iii) El número real x es negativo
iv) Algún elefante es de color rosa
v) Ningún pez respira fuera del agua
vi) Todos los leones son feroces
Solución:
i) Júpiter no es un planeta
ii) El pizarrón no es verde
iii) El número real x no es negativo o también El número real x es positivo ó cero
iv) Ningún elefante es de color rosa
v) Algún pez respira fuera del agua
vi) Algún león no es feroz
ii) El pizarrón no es verde
iii) El número real x no es negativo o también El número real x es positivo ó cero
iv) Ningún elefante es de color rosa
v) Algún pez respira fuera del agua
vi) Algún león no es feroz
Nota: Las tres últimas proposiciones se derivan de proposiciones abiertas que veremos en la sección 1.4
Ejemplo. Construya la tabla de verdad de las siguientes expresiones lógicas:
i) (p → ¬q) v (¬p v r)
ii) p → (q ^ r)
iii) (p → ¬ r) ↔ (q v p)
iv) ¬(p ¬ q) → ¬ r
v) (¬p ^ q) → ¬(q v ¬r)
ii) p → (q ^ r)
iii) (p → ¬ r) ↔ (q v p)
iv) ¬(p ¬ q) → ¬ r
v) (¬p ^ q) → ¬(q v ¬r)
Solución:
i) Seguimos los pasos del algoritmo con la fórmula (p → ¬q) v (¬p v r)
1. Vemos que los operadores de los paréntesis tienen mayor jerarquía, empezamos por el paréntesis izquierdo por lo que la fórmula con jerarquías marcadas sería:
2. Contruir el arbol Sintáctico empezando a descomponer por el operador con el número mayor, seguir en orden descendiente hasta el último que es el que tiene el número 1.
3. Numerar las ramas del árbol
4. Escribir los encabezados de la tabla utilizando las fórmulas en el árbol siguiendo la numeración del paso 3.
5. Asignar valores de verdad a los átomos, en este caso, las tres primeras columas.
| 1 | 2 | 3 |
| p | q | r |
| V | V | V |
| V | V | F |
| V | F | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | V | F |
| F | F | V |
| F | F | F |
6. Asignar los valores de verdad a la ¬ q.
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| p | q | r | ¬ q |
| V | V | V | F |
| V | V | F | F |
| V | F | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | V | F |
| F | V | F | F |
| F | F | V | V |
| F | F | F | V |
7. Asignar los valores de verdad a la ¬ p.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| p | q | r | ¬ q | ¬ p |
| V | V | V | F | F |
| V | V | F | F | F |
| V | F | V | V | F |
| V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | V |
| F | V | F | F | V |
| F | F | V | V | V |
| F | F | F | V | V |
8. Asignar los valores de verdad basados en la tabla de la condicional con p(condicion 1) → ¬q(condicion 4).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | q | r | ¬ q | ¬ p | p → ¬q |
| V | V | V | F | F | F |
| V | V | F | F | F | F |
| V | F | V | V | F | V |
| V | F | F | V | F | V |
| F | V | V | F | V | V |
| F | V | F | F | V | V |
| F | F | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V |
9. Asignar los valores de verdad basados en la tabla disyuncion con la ¬p(condicion 4) v r(condicion 3).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| p | q | r | ¬ q | ¬ p | p → ¬q | ¬p v r |
| V | V | V | F | F | F | V |
| V | V | F | F | F | F | F |
| V | F | V | V | F | V | V |
| V | F | F | V | F | V | F |
| F | V | V | F | V | V | V |
| F | V | F | F | V | V | V |
| F | F | V | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V | V |
10. Completar el resto de las condiciones utilizando las definiciones de los operadores,p → ¬q (condicion 6), v, ¬p v r (condicion 7).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| p | q | r | ¬ q | ¬ p | p → ¬q | ¬p v r | (p → ¬q) v (¬p v r) |
| V | V | V | F | F | F | V | V |
| V | V | F | F | F | F | F | F |
| V | F | V | V | F | V | V | V |
| V | F | F | V | F | V | F | V |
| F | V | V | F | V | V | V | V |
| F | V | F | F | V | V | V | V |
| F | F | V | V | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V | V | V |
11. La última columna es el resultado da cada interpretación establecida en los primeros tres renglones.
Los demás problemas son similares y se obtienen las tablas siguientes.
FALTA PONER LOS ÁRBOLES SINTÁCTICOS DE LOS EJEMPLOS 2 AL 5.
ii)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| p | q | r | q v r | p → (q v r) |
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F |
| V | F | V | V | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | V | V | V |
| F | V | F | V | V |
| F | F | V | F | V |
| F | F | F | F | V |
iii)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| p | q | r | ¬ r | p → ¬ r | q ∨ r | (p → ¬ r) ↔ (q v r) |
| V | V | V | F | F | V | F |
| V | V | F | V | V | V | V |
| V | F | V | F | F | V | F |
| V | F | F | V | V | F | V |
| F | V | V | F | V | V | V |
| F | V | F | V | V | V | V |
| F | F | V | F | V | V | F |
| F | F | F | V | V | F | F |
iv)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| p | q | r | ¬ q | p ^ ¬ q | ¬(p ^ ¬q) | ¬ r | ¬(p ^ ¬q) → ¬ r |
| V | V | V | F | F | V | F | F |
| V | V | F | F | F | V | V | V |
| V | F | V | V | V | F | F | V |
| V | F | F | V | V | F | V | V |
| F | V | V | F | F | V | F | F |
| F | V | F | F | F | V | V | V |
| F | F | V | V | F | V | F | F |
| F | F | F | V | F | V | V | V |
v)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| p | q | r | ¬r | ¬p | q v ¬r | ¬p ^ q | ¬(q v ¬r) | (¬p ^ q) → ¬(q v ¬r) |
| V | V | V | F | F | V | F | F | V |
| V | V | F | V | F | V | F | F | V |
| V | F | V | F | F | F | F | V | V |
| V | F | F | V | F | F | F | V | V |
| F | V | V | F | V | V | V | F | F |
| F | V | F | V | V | V | V | F | F |
| F | F | V | F | V | V | F | F | V |
| F | F | F | V | V | V | F | F | V |
